Tableur et fonctions⚓︎

Introduction aux notions de fonctions (linéaires, affines et non linéaires) via le tableur

Cette activité clé en main pour le Cycle 4 (classe de Troisième) propose d'introduire et de formaliser la notion de fonction à travers trois situations géométriques dépendant d'une même variable x. À l'aide du tableur (LibreOffice Calc), les élèves apprennent à automatiser des calculs de grandeurs (périmètres et aire) et à générer un graphique commun de type XY (dispersion). L'analyse visuelle et algébrique des courbes obtenues permet de conjecturer et de différencier graphiquement et numériquement une situation de proportionnalité (fonction linéaire), une situation non proportionnelle droite (fonction affine), et une situation non linéaire (fonction carrée). Un excellent support pour lier géométrie, algèbre et outils numériques (TICE / Pix). Et pour aller plus loin, les représentations graphiques des trois fonctions peuvent être réalisées avec GeoGebra.

Coup d’œil⚓︎

On aime⚓︎

La simplicité de l'activité pour découvrir les fonctions affines dont linéaires
Utiliser un tableur (tableaux, formules, diagramme)
Chercher et saisir une formule dans un tableur
Se rappeler des formules de périmètres et d'aires des polygones particuliers
Observer les courbes, émettre des constats, raisonner pour conjecturer et communiquer
Pour aller plus loin, tracer la représentation graphique de fonctions dans GeoGebra

Informations⚓︎

Type de ressource : Activité de tableur élève, fichiers DOCX, PDF, ODS et GGB
Cycles concernés : Cycle 4 (troisième)/ Lycée pro/ Lycée général
Thème : Tableur, découverte des fonctions affines dont linéaires
Disponibilité : LibreOffice Calc sur réseau d'établissement et GeoGebra classique (si possible, un ordinateur par élève)
Durée : 2 séances de 50 min.

Activité guidée⚓︎

-------FICHE ÉLÈVE - Tableur LibreOffice Calc⚓︎

Préambule⚓︎

Cette activité consiste à utiliser le tableur pour : calculer rapidement en entrant les formules de trois situations géométriques, réaliser leurs représentations graphiques à partir de leurs tableaux des valeurs, puis les observer, raisonner et conjecturer.

Les trois situations géométriques étudiées dépendent d’une même variable : une longueur \(x\) (en cm).

Situation A : Le périmètre du losange de longueur de côté \(x\).
Situation B : Le périmètre du rectangle de largeur \(x\) et dont la longueur est fixe et mesure 10 cm.
Situation C : L’aire du carré de longueur de côté \(x\).

Consignes⚓︎

Ouvrir un fichier tableur (LibreOffice Calc) et l’enregistrer sous le nom "Tableur-fonctions-nom.ods".
Reproduire le tableau ci-dessous en écrivant les titres dans la première ligne (cellules A1 à D1).

Dans la colonne A, utiliser une suite de nombres avec un pas 1 en étirant vers le bas.
Dans les cellules B2, C2 et D2, saisir les formules tableur permettant de calculer. Pour rappel, les formules commencent par « = », la multiplication se note « \(\text{*}\) » et pour un exposant, on utilise le symbole « ^ » suivi du nombre entier.
Étirer les formules : Sélectionner les cellules B2, C2 et D2, puis cliquer sur le petit carré en bas à droite de la sélection et glisser vers le bas jusqu’à la ligne 8.
Effectuer les représentations graphiques dans un même repère : Sélectionner l’ensemble du tableau (de la cellule A1 jusqu’à D8), cliquer sur l’icône « Insérer un diagramme » en choisissant le type de diagramme "XY(dispersion), points et lignes, ligne lissée". À l'étape de l'assistant de diagramme (Plage de données), cocher la case : "Séries de données en colonnes" ainsi que les cases "Première ligne comme étiquette" et "Première colonne comme étiquette". puis bien compléter les lignes des titres.
Enregistrer son fichier.

Observation des formes des courbes obtenues (répondre sur le cahier)⚓︎

Forme des courbes : Quelles courbes ont la forme d’une ligne droite parfaite ?
Cas particulier : La courbe de l’aire du carré, est-elle une ligne droite ? Si non, comment qualifier ou décrire sa forme ?
Origine du repère : Quelles courbes passent précisément par l’origine des axes (0 ; 0) ? Pourquoi l’une d’elles ne passe-t-elle pas par l’origine ?
Proportionnalité (graphique) : Graphiquement, quelles sont les deux conditions nécessaires pour caractériser une situation de proportionnalité ?
Déduction : En déduire laquelle des situations A, B ou C traduit une situation de proportionnalité entre la grandeur étudiée et la variable \(x\).
Forme algébrique : En observant les formules tableur, écrire la formule mathématique (la forme algébrique) associée à chaque situation.

Cette fiche, aux formats DOCX et PDF, est en téléchargement en bas de cette page.

-------COMMENT FAIRE ? (indications pouvant être surgérées ou données par l'enseignant.e) et SOLUTIONS⚓︎

- Scénario⚓︎

Séance 1 (50 min)

-Maximum 5 min : Lecture des consignes de la fiche élève individuellement par les élèves et en silence.

-Maximum 5 min : Quelques compléments apportés à l'oral par l'enseignant.e en fonction des questions des élèves.

-Le reste du temps, les élèves sont sur ordinateur (avec si possible, un ordinateur par élève), pour effectuer les tâches de la fiche élève et cela, le plus possible en autonomie. Les élèves avancent à leur rythme tout en étant accompagnés par l'enseignant(e) qui ne délivre que quelques astuces si nécessaire.

Séance 2 (50 min)

-Réutilisation des fichiers de la séance précédente et temps de réflexion individuel pour répondre aux questions.

-Échanges et discussion avec la classe sur les réponses et élaboration de la trace écrite.

-Présentation de l'activité "Aller plus loin" de GeoGebra et sa réalisation par tous les élèves ou par les élèves les plus rapides ou en démonstration à la classe par l'enseignant(e) en fonction du temps restant.

- Astuces et vigilances pour l'enseignant.e⚓︎

La Feuille1 peut être renommée par un clic droit "Solutions".
Ne pas hésiter à utiliser le zoom en bas de la fenêtre à droite et à élargir certaines colonnes pour une meilleure visibilité.
Vigilance : Autant, pour écrire \(P_{L}\) avec le \(L\) en indice, il est possible d'utiliser les touches du clavier Ctrl+Maj+B, mais cette astuce ne fonctionne que dans la partie texte du tableau et non dans le diagramme.
Pour remplir automatiquement les nombres de la première colonne avec un pas 1, saisir uniquement "0" en A2 puis sélectionner la cellule A2 et étirer le petit carré vers le bas jusqu'à la cellule A8 comprise.
Pour la situation A, dans la cellule B2, saisir la formule "\(\text{=4*A2}\)" puis "entrée". Le résultat affiché est 0.
De la même manière, pour la situation B, en C2, saisir la formule "\(\text{=2*(A2+10)}\)" ou "\(\text{=2*A2+20}\)" puis "entrée". Le résultat affiché est 20.
Et enfin, pour la situation C, en D2, la formule est "\(\text{=A2}\)^\(\text{2}\)" ou "\(\text{=A2*A2}\)".
Le choix du type de diagramme "XY(dispersion), points et lignes, ligne lissée" est impératif. Vigilance : ne pas choisir le type de diagramme "lignes", il ne respecte pas l'échelle proportionnelle de l'axe des abscisses X.
Bien insister pour que les élèves remplissent l'ensemble des lignes à compléter notamment celles avec les titres.
Pour modifier les paramètres de l'axe X afin qu'il corresponde bien au tableau des valeurs (par défaut, un pas supplémentaire est ajouté en abscisse), double-cliquer sur la fenêtre du diagramme, utiliser l'icône "axe X" et modifier l'échelle en changeant le "Maximum" "7" par "6".
Il est possible d'améliorer la mise en forme en cliquant sur la fenêtre du graphique et en sélectionnant les textes ou les lignes puis en utilisant les icônes d'assistance à disposition.

Visuel du résultat au tableur

- Une trace écrite : TABLEUR & FONCTIONS Solutions⚓︎

Il s'en suit, la séance suivante, un échange avec toute la classe afin d'émettre des constats et des conjectures, puis de faire ensemble la trace écrite de l'activité (cf. exemple ci-dessous).

Rappel : Les trois situations géométriques étudiées dépendent d’une même variable : une longueur \(x\) (en cm) :

Situation A : Le périmètre du losange de longueur de côté \(x\).

Situation B : Le périmètre du rectangle de largeur \(x\) et dont la longueur est fixe et mesure 10 cm.

Situation C : L’aire du carré de longueur de côté \(x\).

Les formules à saisir :

Situation A : en B2, la formule est « \(\text{=4*A2)}\) ».

Situation B : en C2, la formule est « \(\text{=2*(A2+10)}\) » ou bien « \(\text{=2*A2+20)}\) ».

Situation C : en D2, la formule est « \(\text{=A2}\)^\(2\) » ou bien « \(\text{=A2*A2}\) ».

Visuel du résultat après avoir suivi les consignes et améliorer la forme (couleurs et polices de caractère, mis et nommé les axes avec les flèches et le vocabulaire mathématique)

Observation des formes des courbes obtenues (réponses attendues sur le cahier)

• Forme des courbes : Quelles courbes ont la forme d’une ligne droite parfaite ?

Les courbes du périmètre du losange (Situation A) et du périmètre du rectangle (Situation B) ont la forme d’une ligne droite parfaite.

• Cas particulier : La courbe de l’aire du carré, est-elle une ligne droite ? Si non, comment qualifier ou décrire sa forme ?

Non, la courbe de l'aire du carré n'est pas une ligne droite. On peut qualifier sa forme de courbe (ou courbe parabolique / courbe qui monte de plus en plus vite), une demi-parabole.

• Origine du repère : Quelles courbes passent précisément par l’origine des axes (0 ; 0) ? Pourquoi l’une d’elles ne passe-t-elle pas par l’origine ?

Les courbes du losange (A) et du carré (C) passent précisément par l'origine (0 ; 0).

Pourquoi le rectangle ne passe pas par l'origine ? Si la largeur \(x\) vaut 0 cm, le rectangle possède toujours ses deux longueurs fixes de 10 cm. Son périmètre initial est donc de 20 cm (ligne 2 du tableau), la courbe commence donc au point de coordonnées (0 ; 20).

• Proportionnalité (graphique) : Graphiquement, quelles sont les deux conditions nécessaires pour caractériser une situation de proportionnalité ?

Pour caractériser graphiquement une situation de proportionnalité, la courbe doit remplir deux conditions : Être une ligne droite ET passer par l'origine du repère (0 ; 0).

• Déduction : En déduire laquelle des situations A, B ou C traduit une situation de proportionnalité entre la grandeur étudiée et la variable \(x\).

La seule courbe à être une ligne droite ET à passer par l'origine est celle du périmètre du losange, donc la Situation A (le périmètre du losange) est la seule à traduire une situation de proportionnalité.

• Forme algébrique : En observant les formules tableur, écrire la formule mathématique (la forme algébrique) associée à chaque situation.

Situation A (Losange) :

La représentation graphique est celle d’une fonction linéaire (donc de la forme \(ax\) avec \(a = 4\)) sur l’intervalle [0 ; 6] telle que

\(\displaystyle P_L(x) = 4 \times x\)

\(\displaystyle P_L(x) = 4x\)

La représentation graphique du périmètre du losange de longueur de côté variable \(x\) entre 0 et 6 est un segment dont l’une des extrémités est l’origine des axes. La situation est une situation de proportionnalité. Les sept points d’abscisse le côté \(x\) et d’ordonnée le périmètre du losange \(P_L(x)\) sont alignés.

Si on ajoutait d’autres valeurs, dont décimales, pour \(x\) incluses dans l’intervalle [0 ; 6] ou supérieures à celle-ci, la représentation graphique serait une demi-droite d’origine le point (0 ; 0) et passant par les autres points dont celui de coordonnées (6 ; 24).

Situation B (Rectangle) :

La représentation graphique est celle d’une fonction affine (donc de la forme \(ax + b\) avec \(a = 2\) et \(b = 20\), \(b\) étant l’ordonnée à l’origine) sur l’intervalle [0 ; 6] telle que

\(\displaystyle P_R(x) = 2 \times (x + 10)\)

\(\displaystyle P_R(x) = 2x + 20\)

La représentation graphique du périmètre du rectangle de longueur fixe 10 et de largeur variable \(x\) entre 0 et 6 est un segment ne passant pas par l’origine des axes. La situation n’est pas une situation de proportionnalité. Les sept points d’abscisse la largeur \(x\) et d’ordonnée le périmètre du rectangle \(P_R(x)\) sont alignés.

Si on ajoutait d’autres valeurs, dont décimales, pour \(x\) incluses dans l’intervalle [0 ; 6] ou supérieures à celle-ci, la représentation graphique serait une demi-droite d’origine le point (0 ; 20) et passant par les autres points dont celui de coordonnées (6 ; 32).

Situation C (Carré) :

La représentation graphique n’est pas celle d’une fonction affine et donc, pas non plus, d’une fonction linéaire sur l’intervalle [0 ; 6]. Elle a l’allure d’une demi-parabole.

La fonction associée est la fonction carrée (C'est une fonction du second degré) :

\(\displaystyle A_C(x) = x^2\).

Visuel des fichiers solutions

Un autre type de trace écrite avec 3 diagrammes séparés pourrait également être proposé.

Tous les fichiers sont en téléchargement en bas de cette page.

-------ALLER PLUS LOIN...⚓︎

Dans cette partie, il s'agit d'entrer les expressions alébriques des trois fonctions correspondant à chaque situation précédente et d'obtenir de manière automatique les représentations graphiques de chacune.

- Avec GeoGebra⚓︎

Ouvrir GeoGebra et afficher les fenêtres "Algèbre", "Graphique" et "Champ de saisie".
Dans le "Champ de saisie", écrire "Fonction" et choisir parmi les propositions "Fonction(\(\text{<Fonction>,<x initial>,<x final>}\))" puis à la place écrire "Fonction(\(\text{4*x),0,6}\))". La représentation graphique sur l'intervalle \(\text{[0;6]}\) s'affiche automatiquement dans la fenêtre "Graphique". Dans la fenêtre "Algèbre", cliquer droit sur l'expression pour renommer la fonction (f par défaut) "P_L" pour afficher \(P_{L}\) et modifier les propriétés par exemple de la couleur, de l'épaisseur, etc. Faire de même pour les deux autres fonctions "P_R" pour afficher \(P_{R}\) et "A_C" pour afficher \(A_{C}\).
Pour vérifier facilement que les points de l'activité précédente sont bien sur les courbes, dans le "Champ de saisie", créer un curseur nombre "a" de 0 à 6 et d'incrémentation 1 en écrivant "Curseur(0, 6, 1)" et cliquant sur "Entrée". Puis, encore à partir du "Champ de saisie", créer trois points A, B et C en écrivant : "A=(a,P_R(a))" suivi d'un clic sur "Entrée" ; "B(a, P_L(a))" suivi d'un clic sur "Entrée" ; "C=(a, A_C(a))" suivi d'un clic sur "Entrée".
Le curseur peut être renommer "abscisse" à la toute fin de cette dernière étape.

Le résultat sera visualisé comme suit dans l'appliquette GeoGebra. Ne pas hésiter à bouger le curseur et afficher la trace des points en cliquant droit, tour à tour sur A, B puis C en sélectionnant à chaque frois "Afficher la trace".

- Appliquette interactive GeoGebra⚓︎

Galerie⚓︎

Téléchargement⚓︎

Documents et fichiers en téléchargement ci-dessous de Carole LE BELLER